BUDAPESTI MŰSZAKI EGYETEM

GÉPÉSZMÉRNÖKI KAR

MATEMATIKA TANSZÉK

a

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK ÉS VEKTORANALÍZIS (T 8)

c. tárgy programja

a BME műszaki menedzser-szak hallgatói számára

A tárgyat előadja: a Gépészkari Matematika Tanszék

a természettudományi blokkban, az 5. szemeszterben,

valamennyi hallgató részére,

4 óra, 4 kredit értékben, vizsga jegy (v) követelménnyel.

Érvényes: 1996 szeptembertől

Készítette: dr. Moson Péter egyetemi docens

Kotsis Domokosné dr. egyetemi adjunktus

Felülvizsgálta: dr. Szántai Tamás egyetemi docens, tanszékvezető helyettes

Jóváhagyta:

1. A tárgy célkitűzése

megismertetni a hallgatóságot a hagyományos differenciálegyenletek és vektoranalízis elmélettel, rövid kitekintéssel a függvénysorok, komplex függvények, Laplace transzformáció kérdéseire. A. műszaki életben felmerülő legfontosabb differenciál-egyenlet típusok megoldása, valamint a differenciálegyenletek egyéb alkalmazásai.

2. A tárgy kapcsolata más tárgyakkal

a tárgy épít a Többváltozós analízis és differenciálegyenletek alapjai (T 2) c. tárgyra, szoros kapcsolatban van, alkalmazásokon keresztül, a Fizika különböző tárgyaival is.

3. A tananyag részletes témakörei

3.1. Közönséges differenciálegyenlet rendszer. Alapfogalmak: integrálgörbe, pályagörbe, a megoldás folytathatósága. Kezdeti-és peremérték feladatok.

3.2. Egzisztencia és unicitás tételek. A kezdeti feltételektől, paraméterektől való folytonos, differenciálható függés.

3.3. Lineáris differenciálegyenlet rendszerek. Lineáris függetlenség, Wronski determináns. A megoldáshalmaz szerkezete. Állandó együtthatós rendszerek. Próbafüggvény módszer. Variációs rendszer.

3.4. n-edrendű differenciálegyenletek. A megoldáshalmaz szerkezete. Az állandók variálásának módszere. Átviteli elv. Nevezetes másodrendű egyenletek (Bessel).

3.5.. Autonóm differenciálegyenlet rendszerek. Pályák, fáziskép. Ljapunov-féle stabilitás, instabilitás, aszimptotikus stabilitás. Stabilitás a lineáris közelítés alapján.

3.6. Vektor-vektor függvények differenciálhatósága. Deriválttenzor és invariánsai (divergencia, rotáció). Másodrendű differenciáloperátorok (Laplace operátor).

3.7. Vektor-vektor függvények vonalmenti integrálja. A vonalintegrál szemléletes jelentése, munka, cirkuláció. Vektor-vektor függvények felületmenti integrálja. Fluxus.

3.8. Integrálátalakító tételek ( Gauss-Osztrogradszkij, Stokes, Green tételek három illetve két dimenzióban, és alkalmazásaik (megmaradási elvek).

3.9. A potenciálelmélet elemei. Potenciálos, konzervatív, örvénymentes vektormezők. Egyszeresen összefüggő tartomány. Harmonikus függvények. Utalás görbevonalu koordinátarendszerekre.

3.10. Függvénysorozatok, sorok pontonkénti, egyenletes, abszolút konvergenciája. Függvénysorozatok, sorok integrálása, differenciálása, a határfüggvány tulajdonságai.

3.11. Hatványsorok, konvergencia sugár. Fourier sorok. Fourier sorfejtés, utalás a különböző konvergencia típusokra.

3.12. Komplex függvénytan alapjai. Deriválás, analitikus függvény. Konformis leképezések.

3.13. Komplex vonalintegrál. Cauchy formula. Residuum tétel.

3.14. Parciális differenciálegyenletek. Problémafelvetés, osztályozás, utalás a főbb megoldási módszerekre. A Fourier módszer. A hővezetés differenciálegyenlete.

3.15. A Laplace transzformáció. Elemi függvények, eltolás, derivált, integrál Laplace transzformáltja. Alkalmazás differenciál és integrálegyenletekre.

4. Ajánlott irodalom

- Farkas Miklós: Matematika VI., VII, VIII.

- Monostory Iván: Matematika Példatár VI., VII, VIII.

- L.Sz. Pontrjagin: Közönséges differenciálegyenletek, Akadémiai Kiadó, 1972.

- V.I. Arnold: Közönséges differenciálegyenletek, Műszaki Könyvkiadó, 1987.

- V.Sz. Vlagyimirov: Bevezetés a parciális differenciálegyenletek elméletébe, Műszaki Könyvkiadó, 1979.

DIFFERENCIÁLEGYENLETEK ÉS VEKTORANALÍZIS (T 8)

c. tárgy kibővített óravázlata

a BME műszaki menedzser-szak hallgatói számára

készítette

Dr. Moson Péter

egyetemi docens

Budapest, 1996.

1. hét: Közönséges differenciál-egyenletrendszerek

Közönséges differenciálegyenlet rendszer. Alapfogalmak: integrálgörbe, pályagörbe, a megoldás folytathatósága. Kezdeti-és peremérték feladatok.

1. Bevezetés. A differenciálegyenletek a folytonos változások (evolúció) leírásának, modellezésének legfontosabb matematikai eszközei. A folyamat jellegétől függően több matematikai elmélet is (közönséges, parciális, retardált, funkcionális differenciálegyenletek stb.) ezen feladat megoldását szolgálja. Egy folyamat közönséges differenciál-egyenletrendszerrel modellezhető, ha rendelkezik (a valóságban természetesen csak valamilyen közelítéssel) az alábbi tulajdonságokkal:

determinisztikus (a múlt és a jövő egyértelműen meghatározható a jelen állapotból)

véges dimenziós (véges sok változóval leírható, az állapottér véges dimenziós)

differenciálható (a leíró függvények símák).

Példaként itt csak az égi mechanika, bolygómozgás kérdéseit említjük (pontszerűnek tekintett Nap illetve bolygók mellett).

Ebben a részben megfogalmazzuk az alapvető kérdéseket, definíciókat, ezek megoldására a 2. hét anyagában térünk ki.

2. A matematikai modell.

A közönséges differenciál-egyenletrendszerek az alábbi matematikai alakban írhatók fel

(1) , ahol D nyílt, összefüggő,.

A rendszert gyakran egy kezdeti érték (más néven Cauchy) problémával együtt tekintjük, azaz

(2) , ahol .

1. Definíció (megoldás). Egy differenciálható függvényt az (1) , (2) probléma megoldásának nevezzük, ha teljesül -ra Továbbá .

Látható módon a megoldás függ az "időtől" (t), illetve a kezdeti időpillanattól, állapottól ( ). Amennyiben explicit módon is jelezni akarjuk az ezen utóbbi változóktól való függőséget, akkor a függvényt használjuk (argumentuma n+2 dimenziós) .

Az előbbi függvény geometriai szemléltetésénél fontos szerepet játszik az integrálgörbe illetve a pályagörbe fogalma (feltesszük, hogy az (1-2) feladat megoldásai léteznek és egyértelműek).

2. Definíció (integrálgörbe). Integrálgörbének nevezzük a grafikonját, az ponthalmazt.

3. Definíció (pályagörbe). Pályagörbének nevezzük egy integrálgörbe az állapottérre vett vetületét, azaz .

1.1.példa. Tekintsük az (1) , (2) feladatot az nyilvánvaló esetben. (Azaz az elsőrendű differenciálegyenlet kezdeti érték feladatot.) A megoldás világosan egy exponenciális függvény, a kezdeti értékek figyelembe vételével könnyen ellenőrizhetően a következő: (Ls. 1.1. ábra)

1.1. ábra

Az ábrán a vastagon jelölt vonal az megoldás integrál-,illetve pályagörbéje.

Végezetül megemlítjük, hogy az intervallumot a megoldás maximális intervallumának (erre utal az jelölés) nevezik. A jelölés is utal arra, hogy a megoldások értelmezési tartománya általában nem az egész valós számegyenes, hanem egy a kezdeti értéktől (-től) függő nyílt intervallum (ls. 1.2. példa).

1.2. példa. Vizsgáljuk az elsőrendű egyenletet. A megoldások a tangens függvény és eltoltjai (), a maximális intervallum . Az egyenlet jobb oldala analitikus, így a probléma nem simasági jellegű. "Durván " mondva a jelenség lényege, hogy a jobb oldal túl gyorsan nő, ezért a megoldás véges idő alatt elmegy a végtelenbe.

3. Magasabbrendű egyenletek.

A korábbi tanulmányaikban már tárgyalt elsőrendű differenciálegyenletek nyilvánvaló módon speciális esetei az (1-2) összefüggésekkel bevezetett differenciálegyenletrenszereknek. Az alábbiakban megmutatjuk, hogy a magasabbrendű differenciálegyenletek egy egyszerű transzformációval visszavezethetőek diffrenciálegyenletrendszerekre.

Átviteli elv. Az n-edrendű differenciálegyenletek (1'-2') kezdeti érték problémája

az alábbi transzformációval

átvihető a vele ekvivalens

egyenletrendszer Cauchy problémájába.

1.3 példa. Az másodrendű egyenlet (a harmonikus rezgőmozgás egyenlete) az transzformáció után az rendszerre vezet. Ezen rendszerre a pályák origó középpontú koncentrikus körök (és maga az origó).

Az egyenletrendszer fázisképe.

2. hét: A megoldás létezése, kezdeti értékektől való függése.

Egzisztencia és unicitás tételek. A kezdeti feltételektől, paraméterektől való folytonos, differenciálható függés.

1. Bevezetés. E rész témája az 1. héten megfogalmazott (1-2) , kezdeti érték probléma megoldása létezésének és egyértelműségének vizsgálata, a kapott (n+2) változós függvény vizsgálata.

2. Ekvivalens integrálegyenlet.

A közönséges differenciálegyenletek elmélete alaptételét, az egzisztencia és unicitás tételt, visszavezetjük egy integrálegyenlet megoldására.

1. lemma. A , függvény akkor és csak akkor megoldása az

(1-2) ,,, differenciálegyenlet-rendszernek, ha megoldása az alábbi integrálegyenletnek

(3) .

Bizonyítás. Egyszerűen adódik a differenciálegyenlet mindkét oldala integrálásával, illetve az integrálegyenlet differenciálásával.!

Megjegyzendő, hogy az integrálegyenlet lehetőséget ad a megoldás közelítésére (Picard-féle szukcesszív approximációs módszer): Legyen , tekintsük a rekurzív módon megadott függvénysorozatot. Igazolható, hogy bizonyos feltételek mellett (ls. egzisztencia és unicitás tétel) az függvénysorozat konvergál (1-2) ill. (3) megoldásához.

3.A. KITÉRŐ. Metrikus terek. Kontrakció.

Az előbb említett függvénysorozat konvergenciája pl. bizonyítható egy általánosabb tételből, a metrikus tereken megadott leképezésekre vonatkozó Banach-féle fixpont tételből. Röviden emlékeztetjük az olvasót a legfontosabb definíciókra és megfogalmazzuk a tételt.

1. Definíció. (metrikus tér). Egy X halmazt metrikus térnek nevezünk, ha adott egy függvény (metrika - távolságfüggvény) az alábbi tulajdonságokkal

(i) ,

(ii) ,

(iii) (háromszög egyenlőtlenség).

3.1. példa. A kurzusunkban leggyakrabban használt metrikus terek az (metrika: ), illetve a zárt intervallumon megadott folytonos folytonos függvények tere ( ).

Emlékeztetünk arra, hogy egy sorozatot Cauchy sorozatnak nevezzük, ha . Egy tér teljes, ha abban minden Cauchy sorozat konvergens.

Tétel (Banach-féle fix pont). Legyen X teljes metrikus tér, leképezés kontrakció (olyan, hogy -re ), akkor az F -nek létezik egyetlen fix pontja , és az megkereshető a szukcesszív approximáció módszerével .

3.B. KITÉRŐ. Normált terek. Lipschitz feltétel.

Az (1-2) probléma megoldhatóságához az f függvényre bizonyos simasági feltételeket kell feltenni. Ezek bevezetése történik itt.

2. Definíció. (normált tér). Egy X halmazt normált térnek nevezünk, ha adott egy függvény (norma - hosszúságfüggvény) az alábbi tulajdonságokkal

(i) ,

(ii) ,

(iii) (háromszög egyenlőtlenség).

Megjegyzendő, hogy a norma segítségével megadható egy metrika .

3.2. példa. A kurzusunkban leggyakrabban használt normált terek az ( ), illetve a zárt intervallumon megadott folytonos folytonos függvények tere ( ), a mátrixok (lineáris operátorok) normája . Ezen utóbbira nyilván igaz az egyenlőtlenség.

3. Definíció. (Lipschitz feltétel). Azt mondjuk, hogy az f függvény kielégíti az x-szerinti Lipschitz feltételt (L állandóval), ha -re . Amennyiben D minden pontjának van olyan környezete melyre teljesülnek a fentiek, akkor lokális Lipschitz feltételről beszélünk. Jelölés: . Megjegyezzük, ha f folytonosan differenciálható D-ben akkor és tetszőleges D-beli kompaktra .

4. Egzisztencia és unicitástétel.

Tétel. A közönséges differenciálegyenletek (1-2) kezdeti érték problémájának

(1) ,

(2)

a fenti feltételek mellett létezik és egyértelmű a megoldása.

Megjegyzések.

- A tétel feltételei ( f folytonos és Lipschitz-es) elégségesek a megoldás létezéséhez és egyértelműségéhez, de nem szükségesek. A 3.B. megjegyzéséből (az f folytonosan deriválható) egy erősebb, de könnyebben ellenőrizhető elégséges feltétel adódik.

- A megoldás létezését a tétel lokálisan, a pont egy környezetében garantálja.

- A tétel bizonyítható úgy, hogy az 1.lemma integrálegyenlete megoldása létezését és egyértelműségét igazoljuk a Banach-féle fixpont tétel segítségével.

- A megoldás és annak értelmezési tartománya függ a kezdeti értéktől. Ezt az illetve a jelölésekkel fejezzük ki.

5. A kezdeti értékektől való függés.

Tétel. Ha az (1-2) kezdeti érték probléma esetén , akkor a (n+2) változós függvény folytonosan differenciálható minden argumentumában.

Megjegyzések.

- Ha f analitikus, akkor a megoldás is analitikus lesz.

- Az előbbi tétel igaz akkor is, ha f függ egy (általában m változós) paramétertől.

- A megoldásfüggvény kezdeti érték, illetve paraméter szerinti deriváltjainak kiszámítására a 3. hét anyagában térünk ki, mivel ezek egy lineáris egyenletrendszer (a variációs rendszer) megoldására vezetnek. Ott utalunk majd a deriváltak alkalmazhatóságára, szemléletes jelentésére.

3. hét: Lineáris differenciálegyenlet rendszerek.

Lineáris differenciálegyenlet rendszerek. Lineáris függetlenség, Wronski determináns. A megoldáshalmaz szerkezete. Állandó együtthatós rendszerek. Próbafüggvény módszer. Variációs rendszer.

1. Bevezetés.

Az 1-2. heteken tárgyalt általános alakú közönséges rendszerek megoldása létezik az adott feltételek mellett, de nem kereshető meg általában elemi módszerekkel. Ezért, illetőleg az alkalmazásokban való gyakori fellépésük miatt, a továbbiakban speciális alakú rendszerek vizsgálatára térünk át. Lineárisnak nevezünk egy rendszert, ha a jobb oldal a függő változóban legfeljebb elsőfokú. Amennyiben vannak 0. fokú tagok, akkor inhomogén lineáris változó-együtthatós egyenletrendszernek nevezzük az alábbit

,

ahol A (n*n)-es mátrix, b (n*1)-es oszlopvektor ugyanazon az intervallumon megadott folytonos függvény elemekkel. A tartomány tetszőleges pontját kezdeti értékként véve a megfelelő Cauchy problémának létezik és egyértelmű a megoldása (mivel az egzisztencia és unicitás tétel feltételei nyilvánvalóan teljesülnek). Igazolható továbbá, hogy minden megoldás értelmezési tartománya (maximális intervalluma) az egész időintervallum. A továbbiakban röviden ismertetjük a lineáris rendszerek megoldása struktúrájára vonatkozó eredményeket.

2. Homogén rendszer.

Ha egy lineáris rendszerben a jobb oldalon csak elsőfokú tagok vannak a független változóban, akkor homogén rendszerről beszélünk

.

Definíció (vektor függvények lineáris függetlensége).

Az függvényeket lineárisan függetlennek nevezzük, ha esetén.

1. állítás. Ha megoldása (H)-nak, akkor lineáris kombinációjuk is megoldás.

2. állítás. A megoldásai (H)-nak akkor és csak akkor lineárisan függetlenek, ha a belőlük képzett Wronski determináns - - értéke nem egyenlő nullával.

Megjegyzés (Liouville tétele). Ha megoldásai (H)-nak akkor , ahol a rendszer mátrixának nyoma, azaz a fődiagonálisában álló elemek összege.

3. állítás (Általános megoldás). Ha a (H) rendszer megoldásai lineárisan függetlenek, akkor a (H) általános megoldása alakú.

Elnevezések. A lineárisan független megoldásokat alaprendszernek, a belőlük képezett mátrixot alapmátrixnak nevezzük.

Az alapmátrix segítségével az általános megoldás felírása a következő (mátrixos) alakot ölti , ahol .

Megjegyezzük továbbá, ha a (H) rendszernek ismert k lineárisan független megoldása, akkor a rendszer visszavezethető egy n-k dimenziós rendszerre.

3. Inhomogén rendszer.

Struktúra tétel. Az inhomogén rendszer általános megoldása alakú, ahol a homogén rendszer általános megoldása, pedig az inhomogén rendszer egy partikuláris megoldása.

1.Megjegyzés. Egy partikuláris megoldásnak vehető például az függvény. Ezen összefüggésekből jól látható, hogy az n dimenziós rendszerre kapott eredmények összhangban vannak a korábbi differenciálegyenletek tanulmányokban (T2 kurzus) megismert lineáris egyenletekkel. Az egyenlet általános megoldása ugyanezt a struktúrát (homogén általános megoldása + egy partikuláris megoldás) követi .

2.Megjegyzés. (szuperpozíció elv). Ha , akkor az rendszer egy partikuláris megoldásához hozzáadva az egy partikuláris megoldását az eredeti (IH) rendszer partikuláris megoldását kapjuk, azaz .

4. Állandó együtthatós rendszerek.

Az (IH) rendszert állandó együtthatósnak nevezzük, ha az A mátrix elemei állandók (konstans függvények). A b oszlopvektor elemei megmaradnak függvényeknek. Ebben a speciális esetben még jobban látszik az analógia az előbb idézett lineáris egyenlettel, ugyanis a megoldás exponenciális függvény alakú marad.

1. állítás. A állandó együtthatós inhomogén rendszer általános megoldása felírható az alábbi alakban .

Megjegyzés. Az előbbi formulában szereplő alapmátrix számítására több módszer létezik. Ha az A mátrix sajátértékei különbözők, akkor , ahol az vektorok a sajátértékeknek megfelelő sajátvektorok. (Ha el akarjuk kerülni komplex kifejezések megjelenését az általános megoldásunkban, akkor pl. ha egy komplex konjugált gyökpár, a nekik megfelelő két lineárisan független megoldásoknak vehető az vektorfüggvény valós illetve képzetes része.)

Az inhomogén állandó-együtthatós rendszerek partikuláris megoldása az 1. állításban szereplő integrálnál lényegesen egyszerűbben meghatározható, ha a b oszlopvektor elemei polinomiális, exponenciális, trigonometrikus függvények, vagyis . A szuperpozíció elv szerint nyilván lehetséges külön-külön megkeresni a partikuláris megoldásokat az ilyen alakú tagokra, majd ezeket összeadni.

2. állítás (próbafüggvény módszer). Tekintsük az inhomogén állandó együtthatós rendszert, ahol , , legyenek az A mátrix sajátértékei , legyen .

a). nem-rezonáns eset ( ). Létezik olyan partikuláris megoldás vektor, mely minden eleme a -vel megegyező alakú polinomiális, exponenciális, trigonometrikus függvény. (a k. fokú polinom együtthatóit a határozatlan együtthatók módszerével, behelyettesítéssel lehet megkeresni)

a). rezonáns eset ( ). Létezik olyan partikuláris megoldás vektor, mely minden eleme a -vel megegyező alakú polinomiális, exponenciális, trigonometrikus függvény, csak a k. fokú polinomok helyett k+l. fokúkat kell tekinteni (l multiplicitása a karakterisztikus egyenlet gyökei (az A mátrix sajátértékei között).

5. Variációs rendszer.

A lineáris rendszerek eddigi tárgyalásából látszik, hogy az állandó együtthatósak mindig megoldhatók elemi módszerekkel, a változó együtthatósak kezelése is lényegesen egyszerűbb az általános alakú differenciál-egyenletrendszerekénél. Többek között evvel is magyarázható, hogy az alkalmazásokban fontos szerepet játszik a linearizálás módszere. A problémafelvetés a következő:

A 2. hét 5. A kezdeti értékektől való függés pontjában megfogalmaztuk,hogy a (1-2) , kezdeti érték problémákat megoldó (n+2) változós függvény folytonosan differenciálható minden argumentumában. Felmerül a kérdés, hogy mennyivel egyenlőek az így kapott függvény parciális deriváltjai. A t szerinti derivált nyilvánvalóan adódik a megoldás definíciójából. Az (kezdeti érték szerinti) parciális derivált kielégíti az alábbi összefüggést , és igaz a

Tétel. A függvény szerinti deriváltja megoldása a (3) lineáris differenciál-egyenletrendszer

(3) kezdeti érték problémájának ( itt az n*n-es egységmátrixot jelöli).

Elnevezés. A (3) homogén lineáris rendszert az (1-2) rendszer megoldásra vonatkozó variációs rendszerének nevezik.

A kapott eredmény felhasználhatóságát mutatja, ha a megoldást az pont környezetében Taylor sorba fejtjük (vagyis az érdekel bennünket, mi történik ha az adott kezdeti értéktől kissé eltérő x kezdeti értékkel indul megoldásunk) .

6. Paraméterektől való függés.

A gyakorlatban fellépő differenciál-egyenletrendszerek megoldásai nemcsak az időtől, a kezdeti időpillanattól és értéktől, de bizonyos paraméterektől is függhetnek. Tekintsük a

(4) paraméterektől () függő rendszert.

Tétel. A (4) rendszer megoldása minden változójában folytonosan differenciálható és a koordinátái szerinti deriváltakra igaz , vagyis kielégíti az (5) inhomogén lineáris variációs rendszer Cauchy problémáját

(5) , ahol n*1-es oszlopvektor 0 elemekkel.

A paraméter szerinti deriváltak a kezdeti érték szerintiekhez hasonlóan használhatóak.

4. hét: n-edrendű lineáris differenciálegyenletek.

A megoldáshalmaz szerkezete. Az állandók variálásának módszere. Átviteli elv. Nevezetes másodrendű egyenletek (Bessel).

Elnevezés. Az n-edrendű lineáris differenciálegyenlet kezdeti kezdeti érték problémájának nevezzük az alábbit

.

Az 1. téma, 3. Magasabbrendű egyenletek, Átviteli elv részéhez hasonlóan az n-edrendű lineáris differenciálegyenletek (1'-2') kezdeti érték problémája az alábbi transzformációval

átvihető a vele ekvivalens

lineáris változó együtthatós inhomogén egyenletrendszer Cauchy problémájába. Feltéve, hogy , a 3. hét. Lineáris differenciálegyenlet rendszerek, Bevezetésben tárgyaltakból következik az y megoldás létezése és n-szeres differenciálhatósága az egész (,) intervallumon. Elvben az egyenleteket így visszavezetve rendszerekre a tárgyalást itt be is lehetne fejezni. A gyakorlatban azonban sokszor lépnek fel egyenletek (ls. pl. a Newton-i mechanika másodrendű egyenletei), ezért röviden összefoglaljuk az ezen esetre vonatkozó specialitásokat.

2. Homogén egyenlet.

Ha egy lineáris egyenletben a jobb oldalon levő függvény azonosan 0, akkor homogén egyenletről beszélünk

.

Definíció (függvények lineáris függetlensége).

Az függvényeket lineárisan függetlennek nevezzük, ha esetén.

1. állítás. Ha megoldása (H)-nak, akkor lineáris kombinációjuk is megoldás.

2. állítás. A megoldásai (H)-nak akkor és csak akkor lineárisan függetlenek, ha a belőlük képzett Wronski determináns - - értéke nem egyenlő nullával.

Megjegyzés (Liouville tétele). Ha megoldásai (H)-nak akkor . A megjegyzés helyessége könnyen látszik az átviteli elvvel kapott mátrixból, hiszen annak nyoma .

3. állítás (Általános megoldás). Ha a (H) rendszer megoldásai lineárisan függetlenek, akkor a (H) általános megoldása alakú.

Itt is igaz a megjegyzés, ha a (H) egyenletnek ismert k lineárisan független megoldása, akkor az egyenlet visszavezethető egy n-k dimenziós egyenletre.

3. Inhomogén egyenlet.

Struktúra tétel. Az inhomogén egyenlet általános megoldása alakú, ahol a homogén egyenlet általános megoldása, pedig az inhomogén rendszer egy partikuláris megoldása.

1.Megjegyzés (az állandók variálása). Ezt a módszert másodrendű egyenletekre mutatjuk be (n=2). Egy partikuláris megoldás kereshető alakban ( a homogén egyenlet két lineárisan független megoldása). Az megoldás behelyettesítése az (IH) egyenletbe a következő lineáris algebrai egyenletrendszert adja

.

Innen mindig egyértelműen meghatározható, mivel a rendszer determinánsa éppen a Wronski determináns, ami lineárisan független megoldások esetén nem 0. -ből már integrálással adódik és így az partikuláris megoldás.

Látható, hogy mind a rendszerekre, mind az egyenletekre a homogén feladat megoldásának ismerete már egy integrálás után mindig megadja az inhomogén megoldását is. Megjegyezzük újra viszont, hogy nincs általános módszer a homogén feladat n lineárisan független megoldása meghatározására.

2.Megjegyzés. (szuperpozíció elv). Ha , akkor az egyenlet egy partikuláris megoldásához hozzáadva az egy partikuláris megoldását az eredeti (IH) egyenlet partikuláris megoldását kapjuk, azaz .

4. Állandó együtthatós egyenletek.

Az (IH) egyenletet állandó együtthatósnak nevezzük, ha -k állandók (konstans függvények). A b megmaradhat függvénynek. Ebben a speciális esetben a homogén egyenlet általános megoldásának meghatározása egy algebrai egyenletre (az un. karakterisztikus egyenletre) vezet, és így elvben mindig megoldható.

1. állítás. A állandó együtthatós homogén egyenlet általános megoldása felírható az alakban, ahol az karakterisztikus egyenlet gyökei (feltéve, hogy azok különbözőek és valósak).

Megjegyzések.

1. Ha többszörös valós gyök (legyen a multiplicitása k), akkor az ezen által generált k darab lineárisan független megoldás a következő .

2. Komplex gyökök esetén a lineárisan független megoldások választhatók valósnak (mivel az együtthatók valósak). Ha , akkor ,

Az inhomogén állandó-együtthatós egyenletek partikuláris megoldása az 3.1. megjegyzésben szereplő állandók variálása módszernél lényegesen egyszerűbben meghatározható, ha a b függvény polinomiális, exponenciális, trigonometrikus , vagyis . A szuperpozíció elv szerint nyilván lehetséges külön-külön megkeresni a partikuláris megoldásokat az ilyen alakú tagokra, majd ezeket összeadni.

2. állítás (próbafüggvény módszer).

Tekintsük az inhomogén állandó együtthatós egyenletet, ahol , legyenek az karakterisztikus egyenlet gyökei , legyen .

a). nem-rezonáns eset ( ). Létezik olyan partikuláris megoldás, mely minden eleme a -el megegyező alakú polinomiális, exponenciális, trigonometrikus függvény. (a k. fokú polinom együtthatóit a határozatlan együtthatók módszerével, behelyettesítéssel lehet megkeresni)

a). rezonáns eset ( ). Létezik alakú partikuláris megoldás (a k. fokú polinomok együtthatóit a határozatlan együtthatók módszerével, behelyettesítéssel lehet megkeresni itt is).

5. Speciális változó együtthatós lineáris egyenletek.

Az alkalmazásokban egyes lineáris egyenletek gyakrabban lépnek fel, így ezek megoldására külön elméletek születtek. Itt csak két egyenletet említünk meg.

Euler egyenletnek nevezzük az alakú egyenletet, mely az alakú helyettesítéssel visszavezethető állandó együtthatós egyenletre.

Bessel egyenletnek nevezzük az alakú homogén lineáris másodrendű egyenletet ( a paraméter az egyenlet indexe). a hengerszimmetriával rendelkező feladatok gyakran vezetnek erre a típusra. A Bessel egyenletnek megoldásai az függvények. p=n természetes szám esetén elsőfajú n-indexű Bessel-függvénynek nevezzük a választásnál adódó függvényt. A Bessel függvények több érdekes tulajdonsággal rendelkeznek, amiket itt most nem részletezünk.

5. hét: Autonóm differenciál-egyenletrendszerek.

Autonóm differenciálegyenlet rendszerek. Pályák, fáziskép. Ljapunov-féle stabilitás, instabilitás, aszimptotikus stabilitás. Stabilitás a lineáris közelítés alapján.

1. Autonóm rendszerek. Egy közönséges differenciál-egyenletrendszert autonómnak nevezünk, ha jobb oldala nem függ explicit módon az időtől (azaz a t változótól). Tekintsük az

autonóm rendszert. Az egzisztencia és unicitástétel feltételei teljesülnek, így az tér tetszőleges pontját kezdeti értéknek választva létezik megoldás (geometriailag az adott ponton át megy egy és csak egy integrálgörbe). Az autonóm rendszerek legfontosabb tulajdonsága, hogy nemcsak az integrálgörbék, de a rendszer pályái se metszik egymást. A kezdeti értékektől függő megoldásban ( függvény) a kezdeti időpillanatot () nullának választva kapjuk az

függvényt. Az újonnan definiált függvény segítségével felírható a p ponton átmenő pálya

.

Egy autonóm rendszer pályái 3 csoportba oszthatók:

egyensúlyi helyzet (stacionárius pont) a pálya, ha . Az egyensúlyi helyzetek az egyenlet megoldásából adódnak.

zárt pálya (ciklus) a periodikus megoldásoknak felel meg, azaz zárt, ha , ahol T a megoldás periódusa.

nem zárt pálya az, amelyik nem esik az előbbi két osztály egyikébe se.

2. Pályák, fáziskép. Egy autonóm rendszer viselkedéséről sok információt nyerhetünk, ha ismerjük a pályáit és a mozgás irányát rajtuk. Fázisképnek nevezzük azokat az ábrákat, melyeken az tartományban berajzoljuk az autonóm rendszer néhány jellemző pályáját (ilyen fázisképeket közöltünk az 1. hét 1.1. illetve 1.3. példájában). A fáziskép meghatározása viszonylag könnyen történik az alacsony dimenziós rendszerekre (n<3), illetve az egyensúlyi helyzetek környékére. A továbbiakban röviden ismertetjük a síkon tekintett (n=2) lineáris autonóm rendszerek egyensúlyi helyzetei közelében fellépő legegyszerűbb fázisképeket.

Feltételezzük, hogy az egyensúlyi helyzet az origó, azaz a (0,0) pont. A vizsgált lineáris rendszer

alakú, ahol a,b,c,d valós állandók. Írjuk fel a rendszerünket mátrixos alakban

, .

Legyenek , az A mátrix sajátértékei. Tegyük fel, hogy . Ekkor a következő fázisképek lehetségesek

csomópont, ha , valósak és azonos előjelűek. Ekkor a pályák: az origó, a , sajátértékeknek megfelelő sajátvektorok félegyenesei (irányítás az origó felé, ha , negatívak, az origótól el, ha , pozitívak), a többi pálya "parabolaszerűen" érinti az egyik sajátvektor félegyenenesét (pl. a -ét, ha ).

nyeregpont, ha , valósak és ellentétes előjelűek. Ekkor a pályák: az origó, a , sajátértékeknek megfelelő sajátvektorok félegyenesei (irányítás <0-ra az origó felé, >0-ra origótól el), a többi pálya "hiperbolaszerűen" érinti a sajátvektorok félegyeneneseit.

fókuszpont, ha konjugált komplex sajátértékek és a valós részük nem nulla. Ekkor a pályák: az origó, továbbá az origóra "spirálisan" rácsavarodó (ha a gyökök valós része negatív, ), "spirálisan" lecsavarodó (ha a gyökök valós része pozitív) nemzárt pályák..

centrum, ha konjugált komplex sajátértékek és a valós részük nulla, . Ekkor a pályák: az origó, továbbá az origót körülvevő zárt pályák.

3. Ljapunov-féle stabilitás, instabilitás, aszimptotikus stabilitás. A differenciálegyenletek vizsgálatánál gyakran elegendő arra a kérdésre válaszolni, hogy mi történik a rendszer megoldásaival hosszú idő elmúltával, vagyis a esetben. Evvel a témakörrel foglalkozik a differenciálegyenletek stabilitáselmélete. Itt most csak autonóm rendszerek egyensúlyi helyzeteit, abból a szempontból , ha ugyanabban az időpillanatban "közeli" kezdeti értékű pontokból elindítunk megoldásokat, akkor azok esetén is közel maradnak-e az egyensúlyi helyzetünkhöz. Ez a Ljapunov-féle stabilitás problémaköre. Pontosabban, tekintsük az

autonóm rendszert. A fenti feltételekből következik, hogy az origó (x=0) megoldás. Tegyük fel továbbá, hogy minden megoldás értelmezési tartománya az egész számegyenes ( ).

1. Definíció. (Ljapunov stabilitás). Az (1') rendszer x=0 megoldását Ljapunov értelemben stabilisnek nevezzük, ha

.

Instabilitás alatt az előbbi definíció tagadását értjük, azaz

2. Definíció. (Ljapunov instabilitás). Az (1') rendszer x=0 megoldását Ljapunov értelemben instabilisnek nevezzük, ha

.

Az origó Ljapunov stabilitása azt garantálja, hogy a közeléből induló megoldások nem távolodnak el az idő múlásával. Ha ezen megoldások még -re tartanak az origóhoz, akkor aszimptotikus stabilitásról beszélünk.

3. Definíció. (Ljapunov aszimptotikus stabilitás). Az (1') rendszer x=0 megoldását Ljapunov értelemben aszimptotikusan stabilisnek nevezzük, ha

(i) az x=0 megoldás Ljapunov stabilis, vagyis

,

(ii) .

A fenti stabilitási fogalmak vizsgálata történhet az un. Ljapunov-féle függvények segítségével. Erre itt nem térünk ki, csak egy fontos következményt tárgyalunk.

4. Stabilitás a lineáris közelítés alapján. Linearizáljuk a kétszer folytonosan differenciálható (1') rendszert x=0 megoldás környezetében

Itt , X az f nemlineáris része ( ).

1. Tétel. (Ljapunov aszimptotikus stabilitás, instabilitás a lineáris közelítés alapján). Tekintsük az

rendszert, ahol , . Legyenek az A mátrix sajátértékei. Ha

, akkor az (1'') rendszer x=0 megoldása Ljapunov értelemben aszimptotikusan stabilis,

, akkor az (1'') rendszer x=0 megoldása Ljapunov értelemben instabilis.

Látható, hogy a fenti feltételek mellett a nemlineáris rendszer és a linearizált rendszer lokális viselkedése az origó egy környezetében (a környezet nagysága becsülhető pl. a korábbiakban említett Ljapunov függvények segítségével) megegyezik. A stabilitás vizsgálata visszavezethető az A mátrix sajátértékei valós részének vizsgálatához. A sajátértékek a karakterisztikus egyenlet gyökei. A gyökök valós része negativitásának meghatározásához nem szükséges a gyökök tényleges meghatározása. Igaz ugyanis a

Routh-Hurwitz kritérium. Tekintsük az egyenletet. Ezen egyenlet minden gyöke valós részének negativitásához szükséges és elégséges, hogy az alábbi H un. Hurwitz mátrix főminorjainak determinánsai pozitívak legyenek, azaz

. .

A fenti kritériumnál egyszerűbb, de csak szükséges feltétel az aszimptotikus stabilitásra az, ha a karakterisztikus egyenlet minden együtthatójának azonos az előjele.

6. hét: Skalár-, vektorterek differenciálása.

Vektor-vektor függvények differenciálhatósága. Derivált tenzor és invariánsai (divergencia, rotáció). Másodrendű differenciáloperátorok (Laplace operátor).

1. Bevezetés. Az 5-9. hetek anyagában részletesebben tárgyaljuk a T2 (Többváltozós analízis és differenciálegyenletek alapjai) tárgy keretében már bevezetésre került skalár-, illetve vektorterek differenciálásával és integrálásával kapcsolatos kérdéseket. Vizsgálatainkat az alkalmazásokban legtöbbször felmerülő háromdimenziós téren definiált skalár-vektor és vektor-vektor függvényekkel folytatjuk. Bevezetünk egy új jelölésrendszert a "nabla" operátort, mely segítségével egységesen tárgyalható több a korábbiakban már értelmezett fogalom, mint pl. a gradiens, divergencia, rotáció, Laplace operátor.

1. definíció. (Nabla operátor) Nabla operátornak nevezzük és -val jelöljük a Descartes-féle koordinátarendszerben Összefüggésekkel definiált differenciáloperátort.

Megjegyezzük, hogy a vektorokat felül illetve alul húzással jelöljük (a két jelölést egyenértékűnek tekintve). Már itt utalunk arra, hogy a nabla tulajdonságai emlékeztetnek mind a vektorok, mind a deriválás tulajdonságaira.

2. Alapfogalmak. Itt röviden összefoglaljuk a skalárterek, vektorterek deriválására vonatkozó ismereteinket. A vizsgálat tárgyai a háromdimenziós tér D nyílt, összefüggő tartományán értelmezett skalár-vektor, vektor-vektor függvények.

2. Definíció. Az függvény differenciálható az pontban, ha , . Az így kapott d derivált vektort többféleképpen jelöljük: . A nabla operátort tartalmazó jelölés helyességét magyarázzák az alábbiak .

Tegyük fel, hogy deriválhatóak a D -ben, akkor

, , , (itt r egy reguláris térgörbe: ).

3. Definíció. függvény differenciálható az pontban, ha . Az a derivált tenzor.

Felsorolunk néhány a vektor-vektor függvények deriválására vonatkozó összefüggést (feltesszük, hogy a bennük szereplő függvények deriválhatóak a D-ben). , ( a a diadikus szorzat, Descartes koordinátákban a mátrix), . A * az adjungált operátort (Descartes koordinátákban a transzponált mátrixot) jelöli.

. ( r egy reguláris térgörbe: ).

A derivált tenzor, a T2 tárgy keretében már értelmezett, skalár illetve vektor invariánsa (divergencia, rotáció) felírható a nabla operátor segítségével.

Legyen a függvény differenciálható, D nyílt, összefüggő, ,

. Az összefüggést célszerű ebben az alakban megjegyezni, a szimbolikus determináns kifejtésével adódik a rotáció koordinátás alakja .

Befejezésül felírunk néhány invariánsokat tartalmazó összefüggést a nabla operátor segítségével (feltesszük a függvények szükséges számú - egy-, illetve kétszeres - deriválhatóságát):

, azaz .

. (Az elsőből jól látszik a deriválás jellege - szorzat deriváltja, míg a második a vektor jellegre utal - két azonos vektort tartalmazó vegyes szorzat értéke 0.

A Laplace operátor . Megjegyezzük, hogy amennyiben nem Descartes koordinátákat használunk, akkor a Laplace operátor kifejezése módosul: gömbi koordinátákban , henger koordináták-ban .

7-8. hét: Vektorterek integrálása, integrálátalakító tételek.

Vektor-vektor függvények vonalmenti integrálja. A vonalintegrál szemléletes jelentése, munka, cirkuláció. Vektor-vektor függvények felületmenti integrálja. Fluxus.

Integrálátalakító tételek ( Gauss-Osztrogradszkij, Stokes, Green tételek három illetve két dimenzióban, és alkalmazásaik (megmaradási elvek).

1. Bevezetés. A 7. illetve 8. hetek anyagának összevonását az indokolja, hogy az itt tárgyalandó két legfontosabb integrálfogalom (vonalintegrál, felületi integrál) már a T2 tárgy keretében bevezetésre került, viszont mind tartalmuk megvilágításában, mind kiszámításuk módszereiben döntő szerepet játszanak az integrálátalakító tételek. Többek között ezen tételek lehetőséget adnak a divergencia illetve rotáció fogalmának mélyebb megértésére is.

2. Integrálfogalmak. A továbbiakban a folytonos vektor-vektor függvényt vizsgáljuk a D nyílt, összefüggő tartományon (egyes esetekben további simasági, illetve a tartományra vonatkozó feltételek is szükségesek, akkor ezt külön jelezzük).

Legyen egy reguláris térgörbe a D-ben, azaz

.

Megjegyezzük, hogy a reguláris térgörbe egy leképezés, de külön említés nélkül -val jelöljük (és reguláris térgörbének nevezzük) a leképezés képhalmazát is a háromdimenziós térben.

A vektormező görbe mentén vett vonalmenti integrálja alatt a következő valós számot értjük

.

A vonalmenti integrál szemléletes jelentése pl. a munka. Ha a görbe zárt, akkor szokás cirkulációról beszélni. A görbementi integrál csak a görbétől, mint ponthalmaztól és annak irányításától ( érintővektor irányától) függ.

Legyen F egy reguláris felület a D-ben, azaz

.

T nyílt és összefüggő halmaz a síkon. Megjegyezzük, hogy az F reguláris felület egy leképezés, de külön említés nélkül F-el jelöljük (és reguláris felületnek nevezzük) a leképezés képhalmazát is a háromdimenziós térben.

A vektormező F felület mentén vett felületi integrálja alatt a következő valós számot értjük

.

A felületi integrál szemléletes jelentése pl. a felületen időegység alatt átáramló anyag mennyisége. Ha a felület zárt, akkor szokás fluxusról beszélni. A felületi integrál csak a felülettől, mint ponthalmaztól és annak irányításától ( normálvektor irányától) függ.

3. Gauss-Osztrogradszkij tétel. Az integrálátalakító tételek matematikai gyökere a Newton-Leibniz formula, melyet kimondhatunk úgy is, hogy egy függvény deriváltjának integrálja a tartományon megegyezik a függvény integráljával a tartomány határán (egydimenziós esetben a tartomány egy szakasz, határa két pont, az ezek mentén vett integrál a két helyettesítési érték különbsége). Bonyolultabb integráloknál a "deriválás" fogalmát módosítani kell, de az eredmény igaz marad. Az egész elmélet kifejtésére itt nincs módunk, ellenben megfogalmazunk néhány az alkalmazások szempontjából fontos speciális esetet. A Gauss-Osztrogradszkij tétel tekinthető mindennemű megmaradási tétel (anyag, energia stb.) matematikai kifejezésének.

1. Tétel. (Gauss-Osztrogradszkij) Legyen F egyszerű zárt reguláris felület (a teret F három diszjunkt részre osztja - , melyek közül a V korlátos) "kifelé mutató" normálvektorral (a normálvektor talppontjához közeli pontok a W-be esnek), legyen folytonosan differenciálható, , akkor .

1. Példa. Számítsuk ki az origó középpontú, egységsugarú F gömbfelületen időegység alatt kiáramló folyadékmennyiséget, ha a folyadék sebessége .

Megoldás. A feladat az integrál kiszámítása. Ez történhet

a felületi integrál szemléletes jelentéséből, mivel az egységgömb felületén a normális irányú egységvektort ad, így a keresett integrál értéke az egységgömb felszíne, azaz .

a felületi integrál definíciójából, a gömbfelület parametrizálásával, ahogy ezt megtettük a T2 kurzusban (10. ... Vektormező felületi integrálja, alkalmazások.). Ott félgömbre számítva adódott, ahonnan a szimmetria miatt egész gömbre .

az imént megfogalmazott Gauss-Osztrogradszkij tétel segítségével. A tétel feltételei nyilvánvalóan teljesülnek, így , vagyis elegendő a jobb oldali integrált kiszámolni. Mivel

,

a jobb oldali integrál , vagyis az egységgömb térfogatának háromszorosa .

A Gauss-Osztrogradszkij tétel lehetővé teszi a divergencia szemléletes jelentése (lokális forráserősség sűrűség) precizírozását.

2. Tétel. Legyen folytonosan differenciálható, , egyszerű zárt reguláris egymásba ágyazott felületek sorozata, amely az pontra zsugorodik (azaz az -ek által határolt térrészek mérhető térfogatúak, eleme minden -nek, átmérője nullához tart -így természetesen ), akkor a vektor-vektor függvény -nekre vonatkozó átlagos forráserősségeinek sorozata konvergens és a divergenciához tart

.

Bizonyítás. (vázlat) Az által határolt térrészekre felírva a Gauss-Osztrogradszkij tételt, és a hármas integrálra alkalmazva az integrálközéptételt adódik az egyenlőség (). Innen a térfogattal átosztva és figyelembe véve, hogy az -ek által határolt térrészek az pontra "zsugorodnak", már megkapjuk az eredményt.

4. Stokes tétel. A Gauss-Osztrogradszkij tételben egy háromdimenziós térrészen illetve az őt határoló kétdimenziós zárt felületen integráltunk, a deriválás a nabla operátort jelentette. A most megfogalmazandó Stokes tételben a tartomány a háromdimenziós tér egy kétdimenziós felülete, határa pedig egy zárt görbe lesz.

3. Tétel. (Stokes) Legyen reguláris felületdarab, irányított egyszerű reguláris zárt felületi görbe az -en. normálvektorát irányítsuk úgy, hogy annak irányából nézve a -n kijelölt haladási irány pozitív (az óra járásával ellentétes). Jelöljük F-el az -nek a görbe által határolt darabját. Legyen folytonosan differenciálható, . Akkor .

A Stokes tétel lehetővé teszi a rotáció szemléletes jelentése (lokális örvényesség) precizírozását.

4. Tétel. Legyen , jelöljük -el a felület e pontbeli normálvektorát. Tekintsük a egyszerű zárt reguláris egymásba ágyazott felületi görbék sorozatát, amely az pontra zsugorodik (azaz az -ek által határolt felületdaraboknak az eleme, átmérője nullához tart -így természetesen a felszínük is nullához tart). Legyen folytonosan differenciálható. Akkor .

A tétel bizonyításától eltekintünk. A bal oldali határértékben szereplő kifejezés "durván" az irányra merőleges síkban levő kis zárt görbe egyszeri körüljárása során végzett átlagos munkát (lokális örvényesség) jelenti, amit ilyenformán a rotáció adott irányú komponense mér. Megjegyezzük, hogy "jó" erőterekre (a potenciálosokra, mint pl. a gravitációs erőtér) ezen integrálok, munkák zérussal egyenlők, így a rotáció is azonosan nulla lesz. Ennek a kérdéskörnek szenteljük a következő, 9. hét anyagát.

Végezetül leírjuk a nabla szimbolika alkalmazásával az két integrál átalakító tételünket egy szimmetrikusabb alakban (a térrész illetve felület határára a jelölést használva :

Gauss-Osztrogradszkij tétel - - ,

Stokes tétel - - .

Ezekben a jelölésekben már jobban szembeötlő a két tétel közös matematikai eredete.

5. Szimmetrikus Green-formula. A most közlendő tétel egyrészt tekinthető a parciális integrálás általánosításának, másrészt utal arra, hogy a Laplace operátor () tulajdonságai sokban hasonlítanak a szimmetrikus véges dimenziós lineáris operátorokhoz.

5. Tétel. (Green) Legyen F egyszerű zárt reguláris felület, kifelé mutató normálvektorral, V az F által határolt korlátos térrész. Legyenek kétszer folytonosan differenciálható skalár-vektor függvények, . Ekkor

.

Bizonyítás. (vázlat) Tekintsük az felületi integrált. A Gauss-Osztrogradszkij tétel értelmében illetve alkalmazva a megfelelő deriválási szabályokat . Megcserélve a két változót . Kivonva a két kifejezést egymásból adódik az állítás.

Amennyiben átírjuk a nabla operátor segítségével a bizonyításban szereplő integrált, akkor az alábbi kifejezést kapjuk , ami átrendezve a parciális integrálásnak megfelelő alakot ölti.

A 11. hét anyagában (Fourier sorok) részletesebben tárgyalásra kerül a skalárszorzat általánosítása függvényterek esetére. Itt csak azt írjuk fel, hogy a V téren megadott f,g két háromváltozós függvény skaláris szorzata alatt a integrál értékét értjük. Ha a Green formulában a bal oldali integrál 0 (ami igaz pl. ha vagy a függvények, vagy gradiensük 0 a határoló felületen), akkor a kifejezésből átrendezéssel , ami megfelel az skalárszorzatok egyenlőségének. Ez pedig az lineáris szimmetrikus operátorok (mátrixok) jól ismert tulajdonsága .

6. Kétdimenziós integrálátalakító tételek. Az előbbi a Newton-Leibniz formula néhány háromdimenziós vektor-vektor függvényekre vonatkozó általánosítását közöltük (Különösen a rotációt tartalmazó Stokes tétel jellegzetesen három dimenziós). Most röviden kitérünk a kétdimenziós vektormezők esetére. Számításainkat Descartes-féle koordinátákban végezzük , így , . Tekintsünk a sík D tartományában egy reguláris egyszerű zárt görbét, jelöljük T-vel az általa határolt mérhető korlátos síkhalmazt (). A T tartományt parametrizáljuk "természetes" módon, azaz . Ezen körülmények között a rotáció, illetve a felületelem vektor -nek adódnak.

6. Tétel. (síkbeli Stokes) Legyen folytonosan differenciálható, reguláris egyszerű zárt görbe, T a belseje, , akkor

.

Bizonyítás. Alkalmazzuk az Stokes tételt. A baloldali vonalintegrál koordinátás alakban éppen . Felhasználva felületi integrál definícióját és a egyenlőséget, a jobb oldali integrálra a kettősintegrált kapjuk.

Tekintsük a vektormezőt. Divergenciája nyilvánvalóan . Vezessük be a vektormezőt és alkalmazzuk rá az előbbi síkbeli Stokes tételt. A kapott eredmény . A mennyiben bevezetjük a ívelem normálvektort, akkor a bal oldali vonalintegrál felírható alakban. Az eddigiek összefoglalásaként megfogalmazható

7. Tétel. (síkbeli Gauss-Osztrogradszkij) Legyen folytonosan differenciálható, reguláris egyszerű zárt görbe, T a belseje, , akkor

.

9. hét: Potenciálelmélet.

A potenciálelmélet elemei. Potenciálos, konzervatív, örvénymentes vektormezők. Egyszeresen összefüggő tartomány. Harmonikus függvények. Utalás görbevonalu koordinátarendszerekre.

1. Bevezetés. Az elmúlt hetek anyagában a Newton-Leibniz formula általánosításával foglalkoztunk vektorterek esetére. Ismert, hogy a vektoterek görbementi integrálja általában nem csak a görbe két végpontjától, hanem az úttól is függ, amely mentén integrálunk. A kérdés matematikai magyarázata az, hogy amennyiben a dimenzió nagyobb, mint egy, akkor egy függvénynek nem okvetlenül létezik primitívfüggvénye. Azon vektormezőkre, melyeknek van primitív függvényük (), lényegében érvényben marad a Newton-Leibniz formula. A probléma fizika háttere az örvényesség jelenségében keresendő.

2. Fogalmak. A továbbiakban vizsgálatunk tárgya a folytonosan differenciálható vektor-vektor függvény a D nyílt, összefüggő tartományon.

1. Definíció. (potenciálosság) Azt mondjuk, hogy a vektormező potenciálos a D tartományban, ha létezik olyan differenciálható skalár-vektor függvény, melyre . Az u függvényt potenciálfüggvénynek nevezzük.

2. Definíció. (konzervativitás) Azt mondjuk, hogy a vektormező konzervatív a D tartományban, ha bármely reguláris zárt görbén vett vonalmenti integrál értéke nulla, azaz .

Megjegyezzük, hogy ezen definíció ekvivalens azzal, hogy két pontot összekötő bármely két görbe mentén megegyezik a vonalmenti integrál értéke.

3. Definíció. (örvénymentesség) Azt mondjuk, hogy a vektormező örvénymentes (rotációmentes) a D tartományban, ha a vektormező rotációja azonosan nulla a D-ben, azaz .

A potenciálelmélet alaptétele kimondásához a fent már vázolt fogalmak és feltételek mellett egy további feltétel szükséges a D tartomány egyszeresen összefüggősége. Ezt egy több lépéses definicíó sorozattal adjuk meg.

3. Definíció. (egyszeres összefüggőség)

egy síktartományt egyszeresen összefüggőnek nevezünk, ha minden benne haladó zárt görbével együtt annak belsejét is tartalmazza.

egy F felületdarabot egyszeresen összefüggőnek nevezünk, ha egy egyszeresen összefüggő síktartomány képe.

egy tartományt egyszeresen összefüggőnek nevezünk, ha bármely egyszerű reguláris zárt görbére illeszthető F egyszeresen összefüggőnek reguláris felületdarab a D-ben, mely határoló görbéje .

3. A potenciálelmélet alaptétele. Legyen folytonosan differenciál-ható vektor-vektor függvény a D nyílt, egyszeresen összefüggő tartományon. Akkor az alábbi három állítás ekvivalens

(i) a vektormező potenciálos,

(ii) a vektormező konzervatív,

(iii) a vektormező örvénymentes.

A tételt itt most nem bizonyítjuk. Bizonyításánál felhasználásra kerülnek Newton-Leibniz formula igazolásához hasonló gondolatok (integrálfüggvény), a nabla operátor tulajdonságai, a Stokes tétel.

A potenciálelmélet alaptétele lehetővé teszi potenciálos vektormezők görbementi integráljának gyorsabb kiszámítását. Tegyük fel, hogy meg kell határoznunk a görbementi integrál értékét (pl. munkát). A módszer a következő

1. Ellenőrizzük, hogy létezik-e olyan egyszeresen összefüggő D' részhalmaza a vektormező értelmezési tartományának, melyre ,

2. Ellenőrizzük, hogy örvénymentes-e a vektormező,azaz . Emlékeztetünk arra, hogy ez a szimbolikus determináns kiszámításával történhet.

3. Amennyiben az előbbi két feltétel teljesül, akkor érvényben van a potenciálelmélet alaptétele. Meghatározunk egy u potenciálfüggvényt (a potenciálfüggvények egymástól csak konstansban térnek el). A potenciálfüggvény megkeresésére több módszer létezik

elemi integrálással megoldjuk a parciális differenciálegyenlet-rendszert,

egy rögzített pontból kiszámítjuk a vonalintegrál értékét a tartomány egy tetszőleges pontjába egy speciálisan választott (pl. a tengelyekkel párhuzamos) út mentén.

4. A potenciálfüggvény segítségével felírható a vonalintegrál értéke, mint a potenciálfüggvény a görbe két végpontjában tekintett helyettesítési értéke különbsége .

4. Divergencia és rotációmentes vektormezők. A a D nyílt, összefüggő tartományon folytonosan differenciálható vektor-vektor függvényt divergenciamentesnek nevezzük, ha . A Gauss-Osztrograszkij tételből látszik, hogy minden F egyszerű zárt reguláris felületre, , vagyis a zárt felületek mentén vett integrálok nullák. Ez egyébként ekvivalens avval, hogy tetszőleges D-beli felületekre, melyeket ugyanaz a görbe határol a felületi integrálok értékei megegyeznek.

Az alkalmazásokban különösen fontos szerepet játszanak az egyszerre divergencia és rotációmentes vektormezők (, ). A potenciálelméletből adódóan ilyenkor létezik u: . Innen a egyenlőségből adódóan . Emlékeztetünk arra, hogy a Laplace operátorra 0 értéket adó függvényeket harmonikus függvényeknek nevezzük. (Megjegyezzük, hogy pl. a gravitációs erőtér potenciálfüggvénye harmonikus.)

10. hét: Függvénysorozatok, sorok

Függvénysorozatok, sorok pontonkénti, egyenletes, abszolút konvergenciája. Függvénysorozatok, sorok integrálása, differenciálása, a határfüggvény tulajdonságai.

1. Bevezetés. A matematika alkalmazásai során a különböző modellezendő jelenségeket gyakran függvényekkel írjuk le. Ezen függvények általában bonyolultak, ezért további kezelésük (pl. algebrai, differenciál-, integrálegyenletek megoldása) nagy problémát jelent. Az ilyen feladatok megoldásának szokásos matematikai módszere az, hogy az érintett függvényeket egyszerűbbekkel (pl. polinomok, trigonometrikus polinomok) közelítjük. Ez az okoskodás is bizonyítja a függvénysorozatok, sorok elmélete fontosságát. Óravázlatunkban két hetet szentelünk a kérdéskörnek. E hét anyaga az általános elméletet tárgyalja, a 11. héten térünk ki a fentebb már említett két legfontosabb speciális esetek (Taylor sorok, Fourier sorok) vizsgálatára.

2. Alapfogalmak. Tekintsük az függvényekből álló sorozatot. Feltesszük, hogy ezen függvények értelmezési tartománya közös és ugyanabba a halmazba képeznek (jelen esetben az egyszerűség kedvéért mindkettő a valós számok részhalmaza), azaz .

1. Definíció (pontonkénti konvergencia). Azt mondjuk, hogy az , függvénysorozat pontonként konvergál a halmazon az függvényhez (jelölés ), ha

.

Az így definiált konvergencia a legtermészetesebb ugyan, de viselkedése a sorozat határértéke, differenciálása, integrálása szempontjából "nem jó", ezért bevezetjük a következő fogalmat

2. Definíció (egyenletes konvergencia). Azt mondjuk, hogy az , függvénysorozat egyenletesen konvergál a halmazon az függvényhez (jelölés ), ha

.

A nem konvergens sorozatokat divergensnek nevezzük.

1. példa. Tekintsük az függvénysorozatot.

Könnyen látható, hogy a sorozat pontonként konvergál a intervallumon az függvényhez (a számegyenes többi pontjára divergens).

Igazolható, hogy a sorozat egyenletesen konvergál az azonosan 0 függvényhez a intervallumok bármelyikén.

Vezessük be a Cauchy konvergencia fogalmát függvénysorozatokra (csak az egyenletes eset definícióját írjuk fel).

3. Definíció (egyenletes Cauchy konvergencia). Azt mondjuk, hogy az , függvénysorozat egyenletesen Cauchy konvergens a halmazon, ha .

3. Alaptételek.

1. Tétel. A függvénysorozatok egyenletes Cauchy konvergenciája és egyenletes konvergenciája ekvivalensek.

2. Tétel. Folytonos függvények egyenletesen konvergens függvénysorozatának a határfüggvénye is folytonos. Azaz, ha

, akkor .

1.Megjegyzés: Az 1. példában tárgyalt folytonos függvényekből álló függvénysorozatra a konvergencia nem lehet egyenletes az egész intervallumon, mivel a határfüggvény nem folytonos az x=1 pontban.

3. Tétel. (integrálás). Legyen , ahol integrálható függvények az intervallumon, akkor a sorozat elemei integráljának határértéke megegyezik a határfüggvény integráljával, .

4. Tétel. (deriválás). Egy D tartományon legyenek az függvénysorozatra igazak a következők: , , , akkor a határfüggvény deriválható és deriváltja megegyezik a deriváltfüggvények határértékével, .

2.Megjegyzés: A numerikus sorozatoknál megismert, a sorozatokkal végzett algebrai műveletekre vonatkozó tételek (elemek összeadása, szorzása stb) érvényben maradnak a függvénysorozatok különböző konvergencia típusaira. Ezeket itt külön nem fogalmazzuk meg.

4. Függvénysorok. Tekintsük az függvényeket. A belőlük képezett végtelen összeget függvénysornak nevezzük. A pontos definíciókat az részletösszegek sorozatával adjuk meg.

1(2) Definíció (pontonkénti(egyenletes) konvergencia). A függvénysort pontonként (egyenletesen) konvergensnek nevezzük, ha a részletösszegek sorozata pontonként (egyenletesen) konvergens. A határfüggvényt itt összegnek nevezzük és az jelölést használjuk.

3. Definíció (abszolút konvergencia). A függvénysort abszolút konvergensnek nevezzük, ha a függvénysor pontonként konvergens.

3. megjegyzés. A bevezetett háromféle konvergencia között nyilvánvalóan fennáll az, hogy az egyenletes illetve abszolút konvergenciából következik a pontonkénti konvergencia. További implikációk általában nem igazak.

4. megjegyzés. A függvénysorozatokra vonatkozó 1-4. tételek megfelelő terminológiai változtatásokkal (Cauchy konvergencia, az összegfüggvény folytonossága, a függvénysor tagonkénti integrálása, deriválása) érvényben maradnak a függvénysorok esetében is, hasonlóan az algebrai műveletekre vonatkozó tételekhez.

Mivel az egyenletes konvergencia gyakori feltétel az előbbi tételekben végezetül megfogalmazunk egy elégséges feltételt

5. Tétel (Weierstrass kritérium). Legyenek függvények olyanok, hogy -re természetes számra és a majoráló sorozat konvergens. Akkor a függvénysor abszolút és egyenletesen konvergens.

11. hét: Hatványsorok, Fourier sorok

Hatványsorok, konvergencia sugár. Fourier sorok. Fourier sorfejtés, utalás a különböző konvergencia típusokra.

1. Bevezetés. Az előző hét anyagában részletesen tárgyalásra került a függvénysorok () általános elmélete. Most az alkalmazásokban legtöbbször fellépő két speciális esetre: a hatványsorokra ( ), illetve a Fourier sorokra () térünk ki. Az általános elmélet természetesen igaz itt is, de amikor polinomokkal, trigonometrikus polinomokkal közelítünk, akkor a konvergencia tartományra, a konvergencia fajtájára (pontonkénti, egyenletes, abszolút), a sorokkal végzett műveletekre (pl. deriválás, integrálás) további állítások is igazak.

2. Hatványsorok. A alakú függvénysorokat hatványsoroknak nevezzük. Aláhúzzuk, hogy mind a c együtthatók, mind az x független változók lehetnek valós, vagy komplex számok.

1. megjegyzés. Általánosabban hatványsornak a alakú sort nevezzük, ez azonban a független változó eltolásával átvihető az általunk vizsgált alakra.

1. Tétel (Cauchy - Hadamard). Legyen hatványsor, tekintsük az konvergencia sugárnak nevezett számot. Ekkor abszolút konvergens esetén, divergens -re, az pontokra további konvergencia vizsgálatok szükségesek. (Ha , akkor csak az -ban konvergens, ha , akkor -re.)

2. megjegyzés. A fenti tétel bizonyítása a sorok konvergenciájára vonatkozó gyök kritériumon alapul. Ha a hányados kritériumot alkalmazzuk, akkor az r konvergencia sugárra egy hasonló összefüggés adódik.

3. megjegyzés. Az előbbi tételben egyenletes is a konvergencia az r -nél kisebb sugarú intervallumokon ( -ra, ahol ). Könnyen igazolható, hogy ezen intervallumokon a sor tagonként differenciálható és integrálható.

1. példa. Az alábbiakban bemutatunk néhány egyszerű hatványsort (az összegfüggvény, konvergenciasugár megjelölésével)

Mértani sor. .

. r számítható a hányados kritérium alapján, és láthatóan a sor minden x-re konvergens - .

. . A sor csak x=0-ra konvergens, az összege nyilván 0.

4. Megjegyzés. Taylor sorok. Egy az pont egy környezetében végtelenszer deriválható függvénynek ( ) felírható a Taylor sora , amely egy hatványsor. (Megjegyezzük, hogy ezen hatványsor nem okvetlenül konvergens. Ha konvergens, akkor sem okvetlenül az őt generáló függvényhez tart, amint azt az függvény, melynek Taylor sora , példája mutatja. A Taylor sor konvergenciája a függvényhez, amint az az 1. szemeszter matematika anyagában már szerepelt, vizsgálható az un. Lagrange-féle maradéktag segítségével . A konvergenciához elégséges például .)

Ezen pont befejezéseként közöljük néhány elemi függvény hatványsorát (az un. Maclaurin sorát)

3. Fourier sorok. Periodikus függvények közelítésére használják. Tegyük fel, hogy az f függvény integrálható és szerint periodikus. Akkor a függvény Fourier sora alatt értjük az

függvénysort, ahol

, .

A jelölés arra utal, hogy a sor nem okvetlenül konvergál a függvényhez. A Fourier sorok konvergenciáját gyakran vizsgálják az általunk bevezetett pontonkénti, egyenletestől különböző konvergenciák szempontjából. Mi itt megfogalmazunk egy elégséges (finomítható) állítást, majd röviden kitérünk más metrikák használatára.

1. Állítás. Az f folytonos és szakaszonként folytonosan differenciálható szerint periodikus függvény Fourier sora pontonként konvergál a függvényhez.

Az alábbiakban vázlatosan ismertetjük a négyzetesen integrálható függvények elméletének alapjait, ami magyarázatot ad a Fourier együtthatók alakjára is. Az f valós szerint periodikus függvényt négyzetesen integrálhatónak nevezzük (jelölés: ), ha létezik az integrál. Ezen függvényekre értelmezhető a skaláris szorzat: legyen , a két függvény skaláris szorzata . A skaláris szorzat segítségével - hasonlóan az tér geometriájához - definiálhatjuk egy függvény hosszát ( ), két függvény merőlegességét ( ). Könnyen igazolható, hogy az függvények ortonormált függvényrendszert alkotnak (a hosszúságuk 1 és kölcsönösen merőlegesek egymásra). Innen már adódik, hogy a Fourier sor nem más, mint az f függvény a trigonometrikus alapfüggvények () által generált bázisban tekintett felbontása. Igazolható, hogy a Fourier sor az tér metrikájában (ahol a távolság a függvényértékek különbsége négyzetének integrálja) mindig konvergál a függvényhez.

4. megjegyzés. Ha a Fourier sor csak véges sok elemet tartalmaz (vagyis alakú trigonometrikus polinom), akkor az együtthatók gyakran egyszerűbben számíthatók elemi azonosságok, illetve a trigonometrikus függvények komplex alakja - , - segítségével.

5. megjegyzés. Ha a függvényünk f szerint periodikus. Akkor a függvény Fourier sora alatt értjük az

függvénysort, ahol

, .

12. hét: Komplex függvénytan

Komplex függvénytan alapjai. Deriválás, analitikus függvény. Konformis leképezések.

1. Bevezetés. A komplex számok, komplex függvénytan felfedezése egyrészről a matematika belső fejlődésének kiemelkedő teljesítménye (gondoljunk pl. az algebrai egyenletrendszerek megoldhatóságára), másrészről már eddig is sok fontos alkalmazással bír (pl. az elektromosságtan, áramlástan terén). Módszereiben kiindulásként a már megismert egyváltozós valós analízis illetve a síkbeli vektormezők elmélete szolgálhat. Kurzusunk 2 hetet szentel e témának, melyben az első hét durván a differenciálszámítást, a második az integrálszámítást érinti.

2. Egyváltozós komplex függvények és deriválásuk

Egyváltozós komplex függvény alatt a komplex számsíkot sajátmagára képező függvényeket ( ) értjük. A független változót szokásosan z-vel jelölve, az felírható valós, képzetes része (x,y) segítségével, illetőleg az (x,y) értékek visszafelé kifejezhetőek z-vel és konjugáltjával. Igazak a következő összefüggések

.

Hasonlóan a függvényérték is felbontható valós (u) illetve képzetes (v) részre

.

1. Példa. Keressük meg az függvény valós illetve képzetes részét ().

Megoldás. , mivel (emlékeztetünk, hogy ). .

2. Példa. Legyenek egy komplex függvény valós, képzetes részei: , . Írjuk fel a függvényt z függvényeként.

Megoldás. .

1. Definíció. Azt mondjuk, hogy az komplex függvény differenciálható a D nyílt tartományon, ha minden -re létezik az alábbi határérték (amit így jelölünk) .

Az előbbi definíció felírható ekvivalens alakban az f megváltozása segítségével , ahol .

1. Példa (folytatás) Keressük meg az függvény deriváltját.

Megoldás.

3. példa. Vizsgáljuk az függvény deriválhatóságát.

Megoldás. nem létezik, mivel

egy -től függő kifejezést ad (Itt áttértünk a z változóban exponenciális alakra: ).

Az függvény deriválhatósága vizsgálható valós (u) illetve képzetes (v) része segítségével.

1. Tétel (Cauchy-Riemann feltételek). Az függvény akkor és csak akkor differenciálható a D tartományon, ha valós, képzetes részei totálisan differenciálhatók és kielégítik a parciális differenciál--egyenleteket. A függvény deriváltja felírható alakban.

Megemlítjük, hogy a Cauchy-Riemann formulákból könnyen adódik az u , v függvények harmonikussága, vagyis egy deriválható komplex függvényre .

1. Példa (2.folytatás) Igazoljuk az függvény deriválhatóságát, keressük meg a deriváltját a valós, képzetes rész segítségével..

Megoldás. . A Cauchy-Riemann feltételeket ellenőrizzük , illetve .

A derivált számítható az kifejezésből

.

3. példa (folytatás). Vizsgáljuk az függvény deriválhatóságát a Cauchy-Riemann feltételek segítségével.

Megoldás. . A feltételék nem teljesülnek, a függvény nem deriválható.

2. Definíció. Ha az komplex függvény differenciálható a D nyílt tartományon, akkor analitikus függvénynek nevezzük.

Megjegyzés. A fenti definíció összhangban van a valós analitikus függvény definíciójával. Igaz ugyanis, ha egy komplex függvény differenciálható, akkor végtelen sokszor differenciálható és a Taylor sora a tartomány minden pontjában konvergál a függvényhez.

Mind a fenti megjegyzés, mind a Cauchy-Riemann formula lehetőséget adnak arra, hogy az elemi valós függvényeket kiterjesszük a komplex számsíkra.

4. Példa. Az exponenciális komplex függvény definíciója

hatványsorral: ,

valós, képzetes résszel: .

A két definíció nyilván ekvivalens. Az így kapott exponenciális függvény értelmezett az egész komplex számsíkon, a valós tengelyen (y=0) a valós exponenciális függvényt adja (a soros definícióra ez triviális, a másiknál ). Az exponenciális komplex függvény sok érdekes tulajdonsággal bír (pl. periodikus), és segítségével felírható a legtöbb elemi függvény, amint azt az alábbi összefoglaló táblázat mutatja

3. Konformis leképezések.

A különböző függvények deriváltjainak szemléletes jelentést tulajdoníthatunk mind matematikai, mind a különböző alkalmazások szempontjaiból (pl. az egyváltozós valós függvény deriváltját szemléltethetjük a függvény grafikon érintőjének meredekségével, vagy a sebességgel stb.). Most az egyváltozós komplex függvény deriváltjának jelentését világítjuk meg. Legyen differenciálható, rögzítsünk le egy pontot. A függvény megváltozása közelítőleg felírható alakban. Ahonnét látszik, hogy a megváltozás egy -vel való szorzás. Mivel egy komplex számmal való szorzás az abszolút értékével való szorzást (nyújtást), illetve az argumentumának hozzáadását (az argumentumával való forgatást) jelenti, így a derivált abszolút értéke a lokális nyújtást, argumentuma a forgatást jelenti ( , ). Ezen okoskodás pontosítható a konformis leképezések fogalmának bevezetésével.

2. Definíció. Egy leképezést az értelmezési tartománya egy pontjában konformisnak nevezzük, ha kicsiben aránytartó (az adott ponthoz tartva a képek és az ősök hosszai arányának határértéke állandó) és szögtartó (az adott pontban egymást metsző görbék érintőinek hajlásszöge megegyezik a görbék képei érintőinek hajlásszögével).

2. Tétel. Legyen az komplex függvény differenciálható és a pontban a deriváltja nem zérus. Akkor a függvény által létesített leképezés a z-ben konformis.

1. Példa (3.folytatás) Vizsgáljuk, hogy hol ad meg konformis leképezést az függvény. Mivel a derivált csak a z=0-ban nulla, így a leképezés az origó kivételével mindenhol konformis. Az origóban könnyen láthatóan nem lesz szögtartó, mivel az origón áthaladó görbék által bezárt szögek a leképezésnél megháromszorozódnak.

13. hét: Komplex függvények integrálása

Komplex vonalintegrál. Cauchy formula. Reziduum tétel.

1. Bevezetés. A komplex függvények előző heti vizsgálatánál már utaltunk arra, hogy módszereink alapjául az egyváltozós valós analízis illetve a síkbeli vektormezők elmélete szolgálnak. Ezen analógia formálisan a komplex függvény értéke közvetlenül z -függvényében való vizsgálatát, illetve a valós és képzetes részből kiindulva ( mivel ) az így kapott síkbeli vektormező használatát jelenti. E részben a komplex integrálszámítással foglalkozunk. Egy "általános" (nem okvetlenül differenciálható) komplex függvény integrálja kiszámításának módja lényegében megfelel a vektormező vonalintegráljának, míg a deriválható komplex függvények a potenciálos vektormezők elméletéhez hasonló tulajdonságokkal rendelkeznek.

2 Komplex függvény vonalintegrálja. Ezen integrálfogalom bevezetése új gondolatokat nem tartalmaz, alapulhat a szokásos technikán (részletösszegek határértéke). Ezt itt most nem ismételjük meg, helyette (kicsit erősebb feltételek mellett) rögtön egy számításra alkalmas alakú megfogalmazást közlünk.

1. Definíció (komplex vonalintegrál). Tekintsük az folytonos komplex függvényt a D nyílt tartományon. Legyen G egy reguláris síkgörbe a D -ben (azaz ). Akkor az f függvény G görbe mentén vett vonalmenti integrálja alatt az alábbi kifejezésekkel meghatározott komplex számot értjük (közöljük a komplex illetőleg a valós, képzetes részes alakot is):

.

Megjegyezzük, hogy az imént definiált komplex integrál rendelkezik a szokásos integrál tulajdonságokkal (lineáris, additív stb.).

1. Tétel. (Cauchy-tétel.) Ha az függvény analitikus a D egyszeresen összefüggő nyílt tartományban és G egy zárt reguláris síkgörbe a D -ben, akkor .

2. Definíció (primitív függvény). Legyen az komplex függvény megadott a D nyílt tartományon. Ha létezik egy deriválható komplex függvény, melyre , akkor ezt az F függvényt a f függvény primitív függvényének nevezzük a D tartományon.

2. Tétel. Az (D egyszeresen összefüggő nyílt tartomány) analitikus függvénynek létezik primitív függvénye.

Megjegyzés. Az előbbi Cauchy-tétel (1. tétel), amit szoktak a komplex függvénytan főtételének is nevezni, közvetlen következménye, hogy deriválható (analitikus) komplex függvények vonalintegrálja nem függ az úttól, csak annak végpontjaitól. A 2. tétel más szavakkal azt jelenti, hogy érvényben marad a Newton-Leibniz formula:

.

3. Cauchy formula. Reziduum tétel. Ebben a pontban közlünk két nagy elméleti jelentőségű tételt, melyek izolált szingularitások kivételével differenciálható komplex függvények vonalintegrálja számításánál alkalmazhatók.

3. tétel. (Cauchy integrálformula) Legyen függvény analitikus, G pozitív körüljárású egyszerű zárt görbe, mely belsejével együtt a D tartományban fekszik és a z pontot belsejében tartalmazza. Akkor .

4. tétel. (Laurent sor) Legyen az függvény analitikus (vagyis az f a D nyílt tartományon egy szinguláris pont kivételével mindenütt analitikus). Akkor az f függvény a szinguláris pont környezetében un. Laurent sorba fejthető: .

5. Tétel. (reziduum tétel) Legyen f függvény analitikus a G pozitív körüljárású egyszerű zárt görbén, illetve annak belsejében véges sok izolált szinguláris pont kivételével. Jelöljük -vel az f függvény -beli Laurent sora együtthatóját. Akkor .

14. hét: Parciális differenciálegyenletek

Parciális differenciálegyenletek. Problémafelvetés, osztályozás, utalás a főbb megoldási módszerekre. A Fourier módszer. A hővezetés differenciálegyenlete.

Kurzusunkban nincs lehetőség a parciális differenciálegyenletek részletes tárgyalására. A foglalkozáson emlékeztetünk a főbb fogalmakra (egyenlet, kezdeti, peremfeltételek stb). Néhány példán szemléltetjük, hogyan vezethető vissza a probléma már tárgyalt kérdésekre, elsősorban közönséges egyenletekre.

15. hét: Laplace transzformáció

A Laplace transzformáció. Elemi függvények, eltolás, derivált, integrál Laplace transzformáltja. Alkalmazás differenciál és integrálegyenletekre.

A Laplace transzformáció az alkalmazott matematika egyik fontos módszere a mérnöki gyakorlatban (pl. szabályozáselmélet). Hatásának lényege összefoglal-ható abban , hogy a differenciálás és integrálás műveletét visszavezeti a független változóval való szorzás illetve osztásra, bizonyos differenciál- illetve integrálegyenletek megoldását algebrai egyenletek megoldására.

1. Definíció (Laplace transzformált). Legyen: -ra, ha az improprius integrál konvergens, akkor az F függvényt a f függvény Laplace transzformáltjának nevezzük.

(A Laplace transzformáltra az jelöléseket használjuk. Az F függvény p argumentuma általában véve komplex szám, ).

2. Laplace transzformálhatóság elégséges feltételei. (L1-2.)

(L1) f szakaszonként folytonos a [0,) intervallumon,

(L2) melyekre esetén.

Megjegyzés: -re az előbbi feltételek mellett a Laplace transzformáltat definiáló improprius integrál értelmezhető és konvergens.

3. Laplace transzformált -nél.

Állítás: Ha f kielégíti az (L) feltételeket, akkor .

(Megjegyzés. A racionális törtfüggvény alakú Laplace transzformáltak számlálójának fokszáma mindig kisebb a nevező fokszámánál.)

4.Néhány elemi függvény Laplace transzformáltja.

Heaviside függvény (egységugrás) . A Laplace transzformált adódik a definiáló improprius integrál kiszámításával (konvergencia -ra), azaz .

. A definícióból hasonlóan (p>a).

5. A Laplace operátor elemi tulajdonságai.

Az alábbiakban felsorolt tulajdonságok bizonyításai elemi úton adódnak közvetlenül a definícióból. A konvergenciára illetve a függvényekre vonatkozó pontos feltételek megfogalmazásától időnként eltekintünk, ls.[ ]. Az itt felsoroltakat nehány elemi függvény Laplace transzformáltjával együtt egy összefoglaló táblázatban később közöljük.

a). Lineáris operator. Ha f, g függvények kielégítik az (L) feltételeket állandókkal és ().

b). Eltolások.

Eltolás p- ben .

Eltolás t- ben .

c). Periodikus függvény Laplace transzformáltja.

Ha , akkor .

6. Deriválás, integrálás.

a). Laplace transzformált deriváltja. .

b). Derivált Laplace transzformáltja. .

Az utóbbi két tulajdonság általánosítható az n. derivált esetére (ls. 15.1 táblázat).

c). Integrál Laplace transzformáltja. .

d). Konvolúciós integrál Laplace transzformáltja .

Itt .

7. Összefoglaló táblázat.

f	F	f	F
1(t)
sin at
cos at
sh at
ch at

8. A Laplace transzformáció alkalmazásai. Kidolgozott példák.

8.1. példa. Keressük meg az állandó-együtthatós inhomogén lineáris differenciálegyenlet kezdeti érték feladatának megoldását.

Megoldás (8.1. példa).

Vegyük az egyenlet mindkét oldalának Laplace transzformáltját (eközben kihasználjuk a bal oldalon a Laplace transzformált linearitását, a derivált transzformáltjára vonatkozó összefüggést, a jobb oldalon az x elemi függvény Laplace traszformáltját illetve az eltolási tételt.)

.

A kifejezést Y-ra rendezve, a kapott törtet parciális törtekre bontva megkapjuk az eredmény Laplace transzformáltját

.

Ebből az alakból már könnyen adódik (a 8. táblázat összefüggéseiből) a keresett megoldás .

8.2. példa. Oldjuk meg az integrálegyenletet. (Megjegyezzük, hogy ezen egyenlet ekvivalens /ls. 2. hét/ az differenciálegyenlettel.)

Megoldás (8.2. példa). Hasonlóan az előző feladathoz mindkét oldal Laplace transzformáltját véve adódik. Innen , azaz

.