TTK, Matematikus alapszak

Differenciálegyenletek (Előadás BMETE93AM03; Gyakorlat BME TE93AM04)

Elhangzott tananyag óránkénti bontásban (a 6-11. heteken)

2016. március 21. 11. előadás.

Közönséges differenciálegyenlet-rendszerek. Egzisztencia és unicitás tétel.

Lineáris változó együtthatós differenciálegyenlet-rendszerek. A megoldás folytathatósága. Homogén eset. Alaprendszer, alapmátrix, Wronski determináns. Inhomogén eset. Egy partikuláris megoldás megkeresése az állandók variálásával. Megoldó képlet.

2016. március 23. 12. előadás.

Lineáris változó együtthatós differenciálegyenlet-rendszerek. Példa: d²x/dt²+x=0 visszavezetve lineáris rendszerre. Liouville tétele. Az előbbi példa folytatása.

Lineáris állandó együtthatós differenciálegyenlet-rendszerek. megoldási módszerek: (i) az A mátrix sajátértékei, sajátvektorai segítségével, (ii) mátrixfüggvények, exp(At) alapmátrix. Megoldó képlet.

2016. március 24. 6. gyakorlat.

1. zárthelyi dolgozat.

2016. március 30. 7. gyakorlat.

1. zárthelyi dolgozat feladatainak megoldása.

2016. március 31. 13. előadás.

Lineáris állandó együtthatós differenciálegyenlet-rendszerek. megoldási módszerek: (iii) Hermite-féle interpolációs polinom. Többszörös gyökök esete.

Autonóm rendszerek. A pályák (trajektóriák) nem metszik egymást. Fáziskép fogalma.

Homogén állandó együtthatós síkbeli rendszerek megoldása. Fázisképek (Valós sajátértékek esete. Nyereg, csomópont. Komplex konjugált sajátértékek esete. Centrum, fókusz.)

2016. április 4. 14. előadás.

Nemlineáris síkbeli autonóm rendszerek. Lokális fázisképek. Poincaré tétele. Kolmogorov, Volterra-Lotka rendszerek. Ragadozó-zsákmány modell.

Kapcsolat az állandó együtthatós egyenletek, rendszerek között.

2016. április 6. 8. gyakorlat.

Inhomogén lineáris síkbeli autonóm rendszerek. Különböző megoldási módszerek (sajátérték-sajátvektor, exp(At), visszavezetés másodrendű egyenletre, Laplace-transzformáció). Fázisképek.

2016. április 7. 15. előadás.

Ljapunov stabilitás. Definíciók. Tétel (bizonyítással) stabilitás a lineáris közelítés alapján. Routh-Hurwitz kritérium (csak kimondás). Szükséges feltétel: a karakterisztikus egyenlet együtthatói azonos előjelűek.

2016. április 11. 9. gyakorlat.

Routh-Hurwitz kritérium (két-dimenziós rendszerekre bizonyítás, szükséges feltétel kimondása: a karakterisztikus egyenlet együtthatói azonos előjelűek).

Ljapunov stabilitás vizsgálata a lineáris közelítés alapján. A tétel, a Routh-Hurwitz kritérium alkalmazása példákon (köztük a gőzgép matematikai modellje).

2016. április 14. 16. előadás.

A kezdeti értékektől való folytonos függés. Bizonyítás (Gronwall-Bihari lemma).

A kezdeti értékektől való differenciálható függés. Variációs rendszer. Bizonyítás (C² feltétel mellett).

2016. április 18. 17. előadás.

1. pótló-javító zárthelyi dolgozat.

2016. április 20. 10. gyakorlat.

Ljapunov stabilitás, Ljapunov függvények, tételek síkbeli autonóm rendszerek példáin.

2016. április 21. 18. előadás.

A paraméterektől való differenciálható függés. Variációs rendszer.

Bevezetés s bifurkáció elméletbe. A nyereg-csomó bifurkáció. Tipikusság. A transzkritikus bifurkáció visszavetése tipikus rendszerre (nyereg-csomó, illetve nincs is bifurkáció).

2016. április 25. 19. előadás.

Differenciálegyenletek számítógépes megoldása (Dr. Tóth János előadásában – az elhangzott anyag).

2016. április 27. 11. gyakorlat.

Minta 2. zárthelyi dolgozat megoldása.

2016. április 28. 20. előadás.

Tipikus egy kodimenziós bifurkációk (nyereg-csomó, Andronov-Horf). Bifurkációs diagramok.

Strukturális stabilitás fogalma (autonóm differenciálegyenlet-rendszerek esetén).

Az egydimenziós eset teljes vizsgálata. A strukturálisan stabilis egyenletek osztályozása: páros számú (0, 2, 4, …) nem kritikus egyensúlyi helyzet a körön. A strukturálisan stabilis egyenletek nyílt, mindenütt sűrű halmazt alkotnak a C¹ függvénytérben.